研究生的筆記本

分享一個傅立葉級數的經典習題：

Find the Fourier series of f(x) = xcosx in [-π, π]

If {\displaystyle \{a_{n}\}} is a sequence of real numbers and {\displaystyle \{b_{n}\}} a sequence of complex numbers satisfying

• {\displaystyle \{a_{n}\}} is monotonically non-increasing
• {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}
• {\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M} for every positive integer N

where M is some constant, then the series

1. Open sets

Definition:

大學就讀商管/經濟的同學們可能會疑惑為何學校將微積分列為必修。

以大學部的經濟學相關課程為例，基礎微積分教的「微分」最常用於求解最大化、最小化問題，計算發生「效用極大」、「利益極大」的點。

If f is a continuous function on the closed interval [a,b] and differentiable on the open interval (a,b), then there exists a point c in (a,b) 

such that

反函數定理描述了一個函數在什麼情況下會有反函數(inverse function)，以及如果反函數存在的話，反函數的導函數(derivative)會長怎樣。

換句話說，反函數定理適用的條件，就是反函數存在的充分條件(sufficient condition)。

以下參考 Walter Rudin 的經典教科書 Principles of Mathematical Analysis，

列出學習微積分的會碰到重要主題，之後也會陸續在本站補充相關筆記。

以上符號表示先對 xi 微分再對 xj 微分，口訣是近的先微。

sinx 的微分是 cosx

cosx 的微分是 -sinx

緊緻性 (Compactness) 是分析數學中的常用性質。

一般常見的有界閉區間 [a,b] 就是一種緊緻集合 (Compact set)。

賦距空間／距離空間／度量空間 (Metric space) 是指一個非空集合搭配在此集合上的一個度量 (度規)。

A metric space (X, d) is a non empty set (X) together with a metric (d) on the set.

如果函數 f(x) 在 a 點可微，則 f 在該點必連續。

如果函數 f(x) 在 a 點連續，f 在該點「不一定」可微。