研究生的筆記本

如果函數 f(x) 在 a 點可微，則 f 在該點必連續。

如果函數 f(x) 在 a 點連續，f 在該點「不一定」可微。

 f(x) is differentiable at x=a implies that f is continuous at x=a

 f(x) can be continuous at x=a but not differentiable at x=a

「連續但不可微」的常見例子是絕對值函數

例如 y=|x|，在 x=0 處連續，卻不可微。

高中階段還未學習到「連續」的嚴謹數學定義時，通常以能不能一筆畫出(筆不離開紙面)函數圖形，來判斷函數是否連續。

運用這樣的數學直觀，即能理解會有「連續但不可微」的圖形存在。

例如前述絕對值函數，雖然圖形連在一起但有尖角，在 x < 0 時斜率為 -1，x > 0 時斜率為 1。

使x座標從左右兩邊逼近 0，無論靠得多近，(例如-0.000000001與0.000000001) 左右邊的斜率仍會不同，以致導數 (derivative) 無法定義。

另外要注意，我們在說一個函數「連續」或「不連續」時，應該寫明在哪裡連續。

例如在 x=a 連續、在 [a, b] 閉區間連續，或是在整條實數線上都連續。