If {\displaystyle \{a_{n}\}} is a sequence of real numbers and {\displaystyle \{b_{n}\}} a sequence of complex numbers satisfying
- {\displaystyle \{a_{n}\}} is monotonically non-increasing
- {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}
- {\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M} for every positive integer N
where M is some constant, then the series
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}
converges.
Dirichlet's test 是判斷級數收斂的實用方法。
如果我們想用 Dirichlet's test 判斷某個級數是否收斂，第一步是先把目標級數拆成兩個部分。
第一部分 須為一個「單調非遞增」數列，而且這個數列的極限為 0。
所以遞減收斂到 0 的數列 OK，非嚴格遞減收斂到 0 的數列 OK，常數 0 數列也 OK。
但如果是常數 0 數列，整個級數就是一串 0 加在一起，不需要用到 Dirichlet's test 也能看出收斂。
常見的可以是 1/n, 1/(n^2) 等等。
第二部分的部分和必須是有界的。
最簡單的例子就是 1, -1, 1, -1, 1, -1,.....
數列本身雖然不收斂，但是逐項相加不是1就是 0 ，部分和永遠小於等於 1。
在 +- 1 之間跑來跑去的 sin 和 cos 函數，以及許多交錯級數也都符合這個條件。
如果能成功拆成符合條件的、，則目標級數：
就是收斂的。
即使無法成功拆出、，也不代表目標級數不收斂，這時需要使用其他判別法來確認。
範例一：連結
範例二：Show that the following series converges:
where 0 < p <= 1
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