研究生的筆記本

If f is a continuous function on the closed interval [a,b] and differentiable on the open interval (a,b), then there exists a point c in (a,b) 

such that

 

Note:

1. 適用 Mean Value Theorem 的條件要求函數 f 在 [a,b] 閉區間連續，但在 (a,b) 開區間可微即可(端點不可微沒關係)

2. Mean Value Theorem 說的是「可以找到」一個 a、b 之間的 c 點，在 c 點切線斜率=割線斜率，並不是在整個 [a,b] 區間切線斜率都等於割線斜率。

 

Mean Value Theorem 可以用來證明：如果函數 f 在區間 (a,b) 內一階微分皆為 0，函數 f 在區間 (a,b) 內是一常數函數。

If for some function f, we have f′(x)=0 for all x in (a,b), then f(x)=c for some constant c.

讀者可自行練習，解答請參考: Proof that Functions with Zero Derivatives are Constant