研究生的筆記本

反函數定理描述了一個函數在什麼情況下會有反函數(inverse function)，以及如果反函數存在的話，反函數的導函數(derivative)會長怎樣。

換句話說，反函數定理適用的條件，就是反函數存在的充分條件(sufficient condition)。

單變數:

If f is a continuously differentiable function with nonzero derivative at the point a;
then f is invertible in a neighborhood of a, the inverse is continuously differentiable, and the derivative of the inverse function at b = f(a)  is the reciprocal of the derivative of f at a.

在單變數的情況下，反函數存在的充分條件有兩個：

1. 原本的函數 f 要是 continuously differentiable (f 可微，而且它微完之後得到的一階導函數 f ' 還要是連續的)

2. f ' (a) ≠ 0 (f 的導函數在 a 點不為 0)

如果這兩個條件成立， f 在 a 點附近就有反函數，而且這個反函數也是continuously differentiable。

假設函數 f 把 a 點打到 b 點，f 的反函數 g 就把 b 點打回 a 點。反函數在 b 點的微分 g ' (b) 就是 1 /f ' (a)

要注意的是，反函數定理是一個 local 的定理，我們在檢查條件時只檢查在 a 點是否成立，結論也只適用於 a 點附近，它不能保證整條函數在整個定義域上都 "invertible"。

多變數:

在多變數的情況下，f 的 input 和 output 都是 n×1 向量。

我們把條件 1&2 拓展至多維。

1. f 要是 continuously differentiable (f 的所有偏導數都存在且連續)

2. f ' (a) ≠ 0 改成 det[Df(a)] ≠ 0 ( Jacobian matrix 在 a 點可逆)

如果這兩個條件成立， f 在 a 點附近就有反函數，而且這個反函數也是continuously differentiable。

反函數的微分公式：令 y 為 f 的值域( f 反函數的定義域)中的任意一點。

假設函數 f 把 a 向量打到 b 向量，f 的反函數 g 就把 b 向量打回 a 向量。

[Dg(b)] 就是 [Df(a)] 的反矩陣。