研究生的筆記本

Notes:

1. 從特徵值與特徵向量的定義出發，Ax = λx → Ax - λx = 0 → (A - λI)x = 0  

我們可以知道，以下敘述是等價的:

(1) λ 是 A 的 eigenvalue

(2) A - λI 沒有反矩陣/不可逆 (The matrix A - λI is singular)

(3) det(A - λI) = 0

也就是說，A 的 eigenvalues 是特徵多項式 det(A - λI)  = 0 的根 (roots)

2. 一樣從特徵值與特徵向量的定義出發，我們可以知道：

If Ax = λx, then A(αx) = λ(αx) for all real numbers α.

如果 x 是對應到 λ 的一個特徵向量，x 任意伸縮非零倍得到的 (αx) 也會是對應到 λ 的一個特徵向量。

3.  Eigenvalues 可以為0，Eigenvectors 不可以是零向量。

4. If λ is an eigenvalue of A, then the nullspace of A - λI  is called the eigenspace corresponding to the eigenvalue λ.

5. 對於任意一個 eigenvalue，一定能找到對應的 eigenvectors，因此 dim(N(A - λI)) >= 1

謝謝線代顧問小綺老師。