研究生的筆記本

緊緻性 (Compactness) 是分析數學中的常用性質。

一般常見的有界閉區間 [a,b] 就是一種緊緻集合 (Compact set)。

定義:

緊緻 (Compact) 的定義有兩種：

1. Covering Compact: Every open covering of A reduces to a finite subcovering of A. 

如果集合A的「所有開覆蓋」都有有限子覆蓋，則A是緊緻的。

我們可以由這個定義看出，Compact 在分析數學中常有「讓無限變有限」的功能。

覆蓋 (Covering) 的本質是 collection of subsets，可以想成一些小蓋子拼成的大蓋子。跟一般的集合(set)一樣，有開(open)/閉(closed)/閉開(clopen)/以上皆非之分。

把集合 A 的開覆蓋 (Open Covering) 想成可以蓋住集合 A 且類別是open的蓋子。因為A自己就可以蓋住自己，所以如果 A 本身是 open set，A 就是自己的開覆蓋。這個開覆蓋當然可以用有限個小蓋子拼成，只需要一個 A 就可以了。

可見有「有限子覆蓋」並不是很罕見的事，然而，這不能保證集合 A 是緊緻的。

要特別注意定義中的「所有開覆蓋」。初學者在證明時常犯的錯誤之一，就是找到其中一組「有限子覆蓋」能夠蓋住集合 A，就以為 A 是緊緻的。

能夠蓋住 A 的「所有」開覆蓋，都要只用有限個蓋子就能拼出來，才算符合緊緻的定義。

2. Sequential Compact: Every sequence in A has a convergent subsequence whose limit is in A.

如果在集合A裡的所有數列都有收斂到A的子數列，則A是緊緻的。

大定理:

常用的 Compact 等價於 Closed and Bounded 並不是原始定義，而是 Heine–Borel 定理 的結論，只適用於歐幾里得空間

(歐氏空間、n 維空間、)

Note:

Covering Compact 和 Sequential Compact 在 Metric Space 的架構下是等價的，因此兩種定義經常混用。

但一般如果只講 Compact，指的是 Covering Compact。